Question

已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：
（1）如图1，若∠B=35°，∠EAD=12°，则∠ACB=

 

度；
（2）如图2，若∠B=30°，∠EAD=15°，则∠ACB=

 

度；
（3）通过以上的计算，你发现∠EAD和∠ACB-∠B之间的关系应为

 

；
（4）在图3的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（3）中的结论仍然成立吗？为什么？

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）先根据∠B=35°，AD⊥BC求出∠BAD的度数，再由∠EAD=12°得出∠BAE的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠ACB的度数；
（2）同（1）中的步骤即可得出结论．
（3）由（1）（2）的计算发现∠EAD和∠ACB-∠B之间的关系应为：∠ACB-∠B=2∠EAD；
（4）先根据三角形内角和定理及垂直的定义，得出∠ACB-∠B=∠BAD+∠CAD，再由角平分线的定义得出结论∠ACB-∠B=2∠EAD．

解答：解：（1）∵∠B=35°，AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-35°=55°．
∵∠EAD=12°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=55°-12°=43°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=86°，
∴∠ACB=180°-86°-35°=59°．
故答案为：59；

（2）∵∠B=30°，AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-30°=60°．
∵∠EAD=15°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=60°-15°=45°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=90°，
∴∠ACB=180°-90°-30°=60°．
故答案为：60；

（3）∵（1）中∠EAD=12°，∠ACB-∠B=59°-35°=24°，发现∠ACB-∠B=2∠EAD；
（2）中∠EAD=15°，∠ACB-∠B=60°-30°=30°，发现∠ACB-∠B=2∠EAD；
∴∠ACB-∠B=2∠EAD；
故答案为：∠ACB-∠B=2∠EAD．

（4）成立．
理由如下：
∵在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，∠BAE=∠CAE，
∴∠ACB-∠B=90°+∠CAD-（90°-∠BAD）=∠BAD+∠CAD，
又∵∠BAD=∠BAE+∠EAD，∠CAD=∠EAD-∠CAE，
∴∠ACB-∠B=2∠EAD+∠BAE-∠CAE=2∠EAD．

点评：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线、垂直的定义及角的和差，属于基础题型，难度中等．