Question

6．如图，△ABC是⊙O的内接等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为⊙O上的一点，满足BD=3，CD=4$\sqrt{2}$，连接AD，则AD的长为11．

Answer 1

分析 在AD上截取AE=BD=3，连接CE，由SAS证明△ACE≌△BCD，得出∠ACE=∠BCD，CE=CD，证出∠DCE=∠ACB=90°，得出△CDE是等腰直角三角形，由勾股定理得出DE=$\sqrt{2}$CD=8，即可得出AD的长．

解答 解：在AD上截取AE=BD=3，连接CE，如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
由圆周角定理得：∠CAE=∠CBD，
在△ACE和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}&{\;}\\{∠CAE=∠CBD}&{\;}\\{AE=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴∠DCE=∠ACB=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD=8，
∴AD=AE+DE=3+8=11；
故答案为：11．

点评 本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．