Question

11．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交AC边于点D，交BC边于点E，作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若△ABC的边长为4，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接DO，由△ABC是等边三角形，得到∠A=∠C=60°，推出△OAD是等边三角形，得到∠ADO=60°，得到∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，于是得到结论；
（2）由△OBE是等边三角形，得到BE=BO=$\frac{1}{2}$BC=2，求得CE=CB-BE=2，解直角三角形得到DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=$\sqrt{3}$；连接OD，根据图形的面积即可得到结论．

解答 （1）证明：连接DO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；

（2）解：∵△OBE是等边三角形，
∴BE=BO=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴CE=CB-BE=2，
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=$\sqrt{3}$；
连接OD，同理可知CD=2，
∴CF=EF=1，
∴S_{直角梯形FEOD}=$\frac{1}{2}$（EF+OD）•DF=$\frac{1}{2}$×（1+2）×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_扇形OED=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
∴S_阴影=S_{直角梯形FEOD}-S_扇形OED=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2π}{3}$．

点评 此题考查了切线的判定，等边三角形的性质，以及扇形面积求法，其中切线的判定方法为：有点连接证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．