Question

14．如图，一次函数y=-2x+4与x轴，y轴分别交于A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rr△ABC，使AB=AC．
（1）点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（0，4）；
（2）求直线AC的函数关系式；
（3）若P（m，3）在第二象限内，求当△PAB与△ABC面积相等时m的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0和y=0分别代入y=-2x+4中即可求出A与B的坐标．
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，利用△ABO≌△CAD，求出点C的坐标，最后利用待定系数法求出AC的解析式．
（3）过点P作PE⊥x轴于点E，利用勾股定理即可求出AB=AC=2$\sqrt{5}$，利用S_△APB=S_OAB+S_△OPB-S_△OPA列出方程求出m的值．

解答 解：（1）令x=0代入y=-2x+4中
∴y=4，
∴B（0，4）
令y=0代入y=-2x+4中
∴x=2，
∴A（2，0）
（2）过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠ABO=∠ADC，
在△ABO与△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠DAC}\\{∠BOA=∠CDA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△CAD（AAS）
∴CD=OA=2，AD=OB=4，
∴OD=6，
∴C（6，2）
设直线AC的解析式为y=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
∴直线AC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-1
（3）过点P作PE⊥x轴于点E，
∴PE=3，OE=-m
∵AB=AC=2$\sqrt{5}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=10
∴S_△APB=S_OAB+S_△OPB-S_△OPA
=$\frac{1}{2}$AO•BO+$\frac{1}{2}$OB•OE-$\frac{1}{2}$OA•PE
=1-2m
∴1-2m=10
∴m=-$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查一次函数的综合问题，解题的关键是求出A、B、C的坐标，然后利用待定系数法求函数的解析式，本题属于中等题型．