Question

16．已知直线y₁=x-5与双曲线y₂=-$\frac{6-{p}^{2}}{x}$．
（1）求证：无论p取何值时，两个函数的图象恒有两个交点；
（2）设两个交点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且满足x₁²+x₂²=3x₁x₂，求实数p的值．

Answer 1

分析 （1）根据两个函数解析式，得到方程x²-5x+6-p²=0，求根的判别式△，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把x₁²+x₂²=3x₁x₂变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p的一元二次方程，解方程即可．

解答 解：（1）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-5}\\{y=-\frac{6-{p}^{2}}{x}}\end{array}\right.$，可得x²-5x+6-p²=0，
∴△=（-5）²-4×1×（6-p²）=25-24+4p²=1+4p²，
∵无论p取何值时，总有4p²≥0，
∴△=1+4p²＞0，
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x₁+x₂=5，x₁x₂=6-p²，
又∵x₁²+x₂²=3x₁x₂，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=3x₁x₂，
∴5²=5（6-p²），
解得p=±1，
∴实数p的值为±1．

点评 本题属于一次函数与反比例函数图象的交点问题，主要考查了根的判别式和根与系数的关系的运用，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．