Question

6．抛物线y=x²-2x-3交x轴于A（-1，0），B（3，0）以AB为弦的圆与抛物线x轴上方部分交于P、Q两点（P左，Q右），且∠APB=45°，求点P，Q的坐标．

Answer 1

分析 如图，设圆心为k，连接AK、BK．首先求出点K坐标，设P（m，n），则点P满足（m-1）²+（n-2）²=8且n=m²-2m-3=（m-1）²-4，解方程组即可解决问题．

解答 解：如图，设圆心为k，连接AK、BK．

∵∠AKB=2∠APB=90°，A（-1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3，AB=4，
∴AK=BK=2$\sqrt{2}$，
∴点K坐标（1，2），设P（m，n），则点P满足（m-1）²+（n-2）²=8且n=m²-2m-3=（m-1）²-4，
∴n+4+（n-2）²=8，
∴n=3或0（舍弃），
当n=3时，（m-1）²-4=3，
∴m=1±$\sqrt{7}$，
∴P（1-$\sqrt{7}$，3），Q（1+$\sqrt{7}$，3）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、圆的有关知识、两点间距离公式、方程组等知识，解题的关键是学会利用参数，把问题转化为方程组解决，属于中考常考题型．