Question

20．如图，?ABCD中，AB=2，BC=4，∠B=60°，点P是四边形上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，BP的长为2或2$\sqrt{3}$或$\sqrt{19}$．

Answer 1

分析 分两种情况：（1）①当∠BPC=90°时，作AM⊥BC于M，求出BM=$\frac{1}{2}$AB=1，AM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出AC，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，得出点P与A重合即可；
②当∠BPC=90°，点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，由勾股定理求出BP即可；
（2）当∠BCP=90°时，CP=AM=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出BP即可．

解答 解：分两种情况：
（1）①当∠BPC=90°时，
作AM⊥BC于M，如图1所示，
∵∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴AM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$，CM=BC-BM=4-1=3，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴当点P与A重合时，∠BPC=∠BAC=90°，
∴BP=BA=2；
②当∠BPC=90°，
点P在边AD上，CP=CD=AB=2时，
BP=$\sqrt{B{C}^{2}-C{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
（2）当∠BCP=90°时，如图3所示：
则CP=AM=$\sqrt{3}$，
∴BP=$\sqrt{B{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\sqrt{19}$；
综上所述：当△PBC为直角三角形时，BP的长为 2或2$\sqrt{3}$或$\sqrt{19}$．
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点评 本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握平行四边形的性质，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．