Question

5．如图所示，已知等腰△ABC的底边BC与轴重合，BC=4，点B（3，0），AC交轴于点D（0，3）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点M为等腰△ABC的对称轴上一点，是否存在这样的M，使得线段DM+CM的值最小？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接BD，在直线AC上是否存在一点P，使S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）作出等腰三角形的对称轴AF，因为C和B是对称点，所以BD与AF的交点就是所求的点M，利用线段垂直平分线的性质可知：直线AF：x=1，点M就是AF与BD的交点，利用方程组求解；
（3）存在，分两种情况：①点P在CD的延长线上时，点P与点A重合，则这时P（1，6）；②点P在线段CD上时，利用平行线分线段成比例定理列比例式求出点P的坐标．

解答 解：（1）由题意得：C（-1，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把C（-1，0）、D（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=3x+3；
（2）存在，如图1，作对称轴交BD于M，交x轴于F，连接CM，
点C与点B关于直线AF对称，
这时CM+DM的值最小，
∵AF是BC的垂直平分线，
∴直线AF的解析式为：x=1，
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0），D（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则直线BD的解析式为：y=-x+3，
当x=1时，y=2，
∴M（1，2）；
（3）①点P在CD的延长线上时，如图2，当PD=CD时，S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC，
∵C（-1，0），D（0，3）
∴P（1，6）
这时点P与点A重合；
②点P在线段CD上时，如图3，当PD=$\frac{1}{2}$PC时，S_△PBD=$\frac{1}{2}$S_△PBC，
过P作PE⊥BC于E，则PE∥OD，
∴$\frac{PE}{OD}=\frac{CP}{CD}=\frac{CE}{CO}$，
∴$\frac{PE}{3}=\frac{2}{3}=\frac{CE}{1}$，
∴PE=2，CE=$\frac{2}{3}$，
∴P（-$\frac{1}{3}$，2），
综上所述，存在这样的P点，坐标为（1，6）或（（-$\frac{1}{3}$，2）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，并利用方程组的解求两直线的交点坐标；本题还利用对称性求线段和的最小值，这里综合考查了三角形的三边关系及线段垂直平分线的性质；另外，本题还运用了分类讨论的思想，将三角形的面积与平行线分线段成比例定理及坐标相结合，综合性较强．