Question

如图2是装有三个小轮的手拉车在“爬”楼梯时的侧面示意图，定长的轮架杆OA，OB，OC抽象为线段，有OA=OB=OC，且∠AOB=120°，折线NG-GH-HE-EF表示楼梯，GH，EF是水平线，NG，HE是铅垂线，半径相等的小轮子⊙A，⊙B与楼梯两边都相切，且AO∥GH．
（1）如图2①，若点H在线段OB时，则

BH

OH

的值是

 

；
（2）如果一级楼梯的高度HE=（8

3

+2）cm，点H到线段OB的距离d满足条件d≤3cm，那么小轮子半径r的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：几何图形问题,压轴题

分析：（1）作P为⊙B的切点，连接BP并延长，作OL⊥BP于点L，交GH于点M，求出ML，OM，根据

BH

OH

=

ML

OM

求解，
（2）作HD⊥OB，P为切点，连接BP，PH的延长线交BD延长线于点L，由△LDH∽△LPB，得出

DL

PL

=

DH

PB

，再根据30°的直角三角形得出线段的关系，得到DH和r的关系式，根据0≤d≤3的限制条件，列不等式组求范围．

解答：解：（1）如图2①，P为⊙B的切点，连接BP并延长，作OL⊥BP于点L，交GH于点M，
∴∠BPH=∠BLO=90°，
∵AO∥GH，
∴BL∥AO∥GH，
∵∠AOB=120°，
∴∠OBL=60°，
在RT△BPH中，HP=

3

BP=

3

r，
∴ML=HP=

3

r，
OM=r，
∵BL∥GH，
∴

BH

OH

=

ML

OM

=

3 r

r

=

3

，
故答案为：

3

．

（2）作HD⊥OB，P为切点，连接BP，PH的延长线交BD延长线于点L，
∴∠LDH=∠LPB=90°，
∴△LDH∽△LPB，
∴

DL

PL

=

DH

PB

，
∵AO∥PB，∠AOD=120°，
∴∠B=60°，
∴∠BLP=30°，
∴DL=

3

DH，LH=2DH，
∵HE=（8

3

+2）cm
∴HP=8

3

+2-r，
PL=HP+LH=8

3

+2-r+2DH，
∴

3 DH

2DH+8 3 +2-r

=

DH

r

，解得DH=

3 +1

2

r-4

3

-1，
∵0cm≤DH≤3cm，
∴0≤

3 +1

2

r-4

3

-1≤3，
解得：（11-3

3

）cm≤r≤8cm．
故答案为：（11-3

3

）cm≤r≤8cm．

点评：本题主要考查了圆的综合应用，解决本题的关键是作出辅助线，运用30°的直角三角形得出线段的关系．