Question

已知：如图，在△ABC中，点A₁，B₁，C₁分别是BC、AC、AB的中点，A₂，B₂，C₂分别是B₁C₁，A₁C₁，A₁B₁的中点，依此类推…．若△ABC的周长为1，则△A_nB_nC_n的周长为

 

．

Answer 1

考点：三角形中位线定理

专题：规律型

分析：由于A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，就可以得出△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为

1

2

，△A₂B₂C₂∽△ABC的相似比为

1

4

，依此类推△A_nB_nC_n∽△ABC的相似比为

1

2n

，

解答：解：∵A₁、B₁、C₁分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A₁B₁、A₁C₁、B₁C₁是△ABC的中位线，
∴△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比为

1

2

，
∵A₂、B₂、C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，
∴△A₂B₂C₂∽△A₁B₁C₁且相似比为

1

2

，
∴△A₂B₂C₂∽△ABC的相似比为

1

4

依此类推△A_nB_nC_n∽△ABC的相似比为

1

2n

，
∵△ABC的周长为1，
∴△A_nB_nC_n的周长为

1

2n

．
故答案为：

1

2n

．

点评：本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质．