Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，∠B=60°，∠CAD=45°，AC=4

2

，求等腰梯形ABCD的面积．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质

专题：计算题

分析：过D作DF垂直于BC，由AD与BC平行，且AE垂直于BC，得到AE=DF，利用HL得到直角三角形ABE与直角三角形DCF全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=CF，再由两直线平行内错角相等得到∠CAD=∠ACE=45°，得到三角形AEC为等腰直角三角形，根据AC的长求出AE与EC的长，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，由BE+EC求出BC的长，由BC-2BE求出EF的长，即为AD的长，利用梯形面积公式即可求出梯形ABCD的面积．

解答：解：过D作DF⊥BC，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE=DF，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，

AE=DF AB=CD

，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴BE=FC，即AD=EF=BC-2BE，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∵AC=4

2

，设AE=EC=x，
根据勾股定理得：x²+x²=（4

2

）²，
解得：x=4（负值舍去），
∴AE=EC=4，
在Rt△ABE中，AE=4，∠B=60°，
∴BE=

AE

tan60°

=

4 3

3

，
∴BC=BE+EC=

4 3

3

+4，AD=

4 3

3

+4-2×

4 3

3

=4-

4 3

3

，
则S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AE=2（4-

4 3

3

+

4 3

3

+4）=16．

点评：此题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数定义，全等三角形判定与性质，熟练掌握等腰梯形的性质是解本题的关键．