Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D坐标；
（2）联结AC、BC，求∠ACB的正切值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）把点B与点C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解，把解析式整理成顶点式即可写出顶点坐标；
（2）首先得出A点坐标，进而得出∠OBC=45°，BC=3

2

，再过点A作AH⊥BC，垂足为H，利用tan∠ACB=

AH

CH

求出即可．

解答：解：（1）∵抛物线过点B（3，0），点C（0，3），
∴

32+3b+c=0 c=3

，
解得

b=-4   c=3

，
∴抛物线解析式为：y=x²-4x+3，
又∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点D的坐标是：D（2，-1）；

（2）∵抛物线y=x²-4x+3与x轴交于点A、B两点（点A在B点的左侧），
∴A（1，0），
又∵O（0，0），C（0，3），B（3，0），
∴BO=CO=3，
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=45°，BC=3

2

，
过点A作AH⊥BC，垂足为H，
∴∠AHB=90°，
∵AB=2，
∴AH=BH=

2

，
∴CH=BC-BH=2

2

，
∴tan∠ACB=

AH

CH

=

2

2 2

=

1

2

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．利用待定系数法求得二次函数解析式，解答（1）中抛物线的顶点坐标时，也可以利用顶点坐标公式进行求解．