Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为AB边上一点，AD=3BD，CD=2

10

，∠CDE=45°，点E在直线AC上，则AE=

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：分类讨论

分析：分两种情况：①点E在AC上时；②线段在AC的延长线上时；分别运用三角形相似求出线段AE的长．

解答：解：①如图1，点E在AC上时，

∵△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠EAD=CB=45°，
∵∠CDE=45°，∠CDA=∠CDE+∠ADE=∠B+∠BCD，
∴∠ADE=∠BCD，
∴△ADE∽△BCD，
∴

AD

BC

=

AE

BD

，
∵AC=BC，AB=

2

AC，
∵AD=3BD，
∴AD=

3

4

AB=

3 2

4

AC，BD=

1

4

AB=

2

4

AC，
∴

3 2 4 AC

AC

=

AE

2 4 AC

，
∴AE=

3

8

AC，
∵∠CDE=∠A=45°，
∴△CED∽△CDA，
∴

CD

AC

=

CE

CD

，
∵CD=2

10

，
∴AC•CE=40，
∴

8

3

AE•CE=40，即AE•CE=15，
∵AE+CE=AC，即AE+CE=

8

3

AE，
∴CE=

5

3

AE，
∴AE•

5

3

AE=15，解得AE=3．
（2）如图2，E在AC的延长线上，

∵∠CDE=45°，∠DCM=∠BCD，
∴△CDE∽△BCD，
∴

CD

CB

=

CM

CD

，
∵CD=2

10

，CB=AC，
∴BC•CM=40，即AC•CM=40
∵∠EDB=∠A+∠E，∠DCA=∠E+∠CDE，
∵∠A=∠CDE=45°，
∴∠EDB=∠DCA，
∵∠A=∠B=45°，
∴△BDM∽△ACD，
∴

AC

BD

=

AD

BM

，
∵AC=BC，AB=

2

AC，
∵AD=3BD，
∴AD=

3

4

AB=

3 2

4

AC，BD=

1

4

AB=

2

4

AC，
∴

AC

2 4 AC

=

3 2 4 AC

BM

，
∴BM=

3

8

AC，
∵BM+CM=AC，
∴CM=

5

8

AC，
∴AC=8，
作DN∥BC，

DN

BC

=

AN

AC

=

AD

AB

=

3

4

，
∴DN=BC×

3

4

=8×

3

4

=6，AN=AC×

3

4

=8×

3

4

=6，
∴CN=8-6=2，
∵CM=

5

8

AC=5，
∵

CM

DN

=

CE

EN

，
∴

5

6

=

CE

CE+2

，解CE=10，
∴AE=AC+CE=8+10=18，
综上所述AE=5或18，
故答案为：5或18．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形，解题的关键是利用三角形相似找出线段的关系求解．