Question

3．在平面直角坐标系中，O为原点，把矩形COAB绕点C顺时针旋转，得到矩形CFED，记旋转角为α，设FC与AB交于点H，且点A（0，4），C（6，0）．
（Ⅰ）如图1，当α=60°时，求BD、HC的长；
（Ⅱ）当AH=HC时，求直线FC的解析式；
（Ⅲ）如图2，当α=90°时，经过点D，且以点B为顶点的抛物线是否经过矩形CFED的对称中心M，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由旋转的旋转得出CD=BC，而性质角为60°，得出CD=BC=BD即可；
（Ⅱ）设出AH的长，表示出BH，CH，用勾股定理求出a，从而得到点H的坐标，用待定系数法求出直线解析式；
（Ⅲ）先由旋转确定出点F，D，用待定系数法求出抛物线的解析式，再确定出点M的坐标，把横坐标代入抛物线解析式中求出y值不等于点M的纵坐标，得出点M不在抛物线上．

解答 解：（Ⅰ）∵点A（0，4），C（6，0）．
∴B（6，4），BC=4，
由旋转得，CD=CB=4，
∵旋转角∠DBC=α=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，
在Rt△CBH中，BC=4，∠BCH=90°-α=30°，
∴cos∠BCH=$\frac{BC}{CH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴CH=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$；
（Ⅱ）设AH=a，则CH=a，BH=AB-AH=6-a，
在Rt△BCH中，BC=4，根据勾股定理得，BH²+BC²=CH²，
即：（6-a）²+16=a²，
∴a=$\frac{13}{3}$，
∴H（$\frac{13}{3}$，4），
∵C（6，0），
∴直线FC解析式为y=-$\frac{12}{5}$x+$\frac{72}{5}$；
（Ⅲ）当旋转角为90°时，D（10，0），以点B（6，4）为顶点的抛物线，
设抛物线解析式为y=a（x-6）²+4，
∵点D（10，0）在抛物线上，
∴0=a（10-6）²+4，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-6）²+4，
由旋转得点F（6，6），
∵矩形CFED的对称中心M，
∴M（8，3），
∴当x=8时，y=-$\frac{1}{4}$（8-6）²+4=3，
∴经过点D，且以点B为顶点的抛物线经过矩形CFED的对称中心M．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的旋转，旋转的旋转，勾股定理，等边三角形的判定和性质，解本题的关键是勾股定理的应用．