Question

6．在平面直角坐标系 xOy中，对于点P（x，y），以及两个无公共点的图形W₁和W₂，若在图形W₁和W₂上分别存在点M （x₁，y₁ ）和N （x₂，y₂ ），使得P是线段MN的中点，则称点M 和N被点P“关联”，并称点P为图形W₁和W₂的一个“中位点”，此时P，M，N三个点的坐标满足x=$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，y=$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$
（1）已知点A（0，1），B（4，1），C（3，-1），D（3，-2），连接AB，CD．
①对于线段AB和线段CD，若点A和C被点P“关联”，则点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）；
②线段AB和线段CD的一“中位点”是Q （2，-$\frac{1}{2}$），求这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标；
（2）如图1，已知点R（-2，0）和抛物线W₁：y=x²-2x，对于抛物线W₁上的每一个点M，在抛物线W₂上都存在点N，使得点N和M 被点R“关联”，请在图1 中画出符合条件的抛物线W₂；
（3）正方形EFGH的顶点分别是E（-4，1），F（-4，-1），G（-2，-1），H（-2，1），⊙T的圆心为T（3，0），半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH和⊙T的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．

Answer 1

分析 （1）①点M 和N被点P“关联”的定义即可解决问题．
②设在线段AB和线段CD上分别存在K（x，1）和L（3，y）被点Q（2，-$\frac{1}{2}$）“关联”，则点Q是KL中点，列出方程即可解决问题．
（2）锐角题意可知画出抛物线W₁关于点R的中心对称图形即可．
（3）先根据题意画出图形，再求出图形面积即可．

解答 解：（1）①∵点A和C被点P“关联”，
又∵$\frac{0+3}{2}$=$\frac{3}{2}$，$\frac{1-1}{2}$=0，
∴点P坐标（$\frac{3}{2}$，0），
故答案为（$\frac{3}{2}$，0）．
②设在线段AB和线段CD上分别存在K（x，1）和L（3，y）被点Q（2，-$\frac{1}{2}$）“关联”，则点Q是KL中点，
∴2=$\frac{x+3}{2}$，-$\frac{1}{2}$=$\frac{1+y}{2}$，
∴x=1，y=-2，
∴这两条线段上被点Q“关联”的两个点的坐标分别是（1，1）和（3，-2）．
（2）所求作的抛物线如图1所示，

（3）正方形EFGH和⊙T的所有“中位点”组成的图形如图2所示（影阴部分包括边界），

S_阴=2×2-4[$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$•π•（$\frac{1}{2}$）²]=3+$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查二次函数综合题、中心对称等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图形，利用分割法求面积，解题的难点是第三个问题的图不容易画出来，属于中考压轴题．