Question

11．阅读下列材料：
在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=1，∠A=α，求sin2α（用含sinα，cosα的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB的中点O，连接OC，过点C作CD⊥AB于点D，则∠COB=2α，然后利用锐角三角函数在Rt△ABC中表示出AC，BC，在Rt△ACD中表示出CD，则可以求出
sin2α=$\frac{CD}{OC}$=$\frac{sinα•AC}{{\frac{1}{2}}}$=$\frac{sinα•cosα}{{\frac{1}{2}}}$=2sinα•cosα．
阅读以上内容，回答下列问题：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=1．
（1）如图3，若BC=$\frac{1}{3}$，则 sinα=$\frac{1}{3}$，sin2α=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$；
（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sinα，cosα的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数进行解答即可；
（2）利用直角三角形中的三角函数解答即可．

解答 解：（1）sinα=$\frac{1}{3}$，cosα=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，可得：sin2α=$\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$；
故答案为：$\frac{1}{3}$；$\frac{4\sqrt{2}}{9}$
（2）∵AC=cosα，BC=sinα，
∴CD=$\frac{AC×BC}{AB}$=sinα•cosα．
∵∠DCB=∠A，
∴在Rt△BCD中，BD=sin²α．
∴OD=$\frac{1}{2}$-sin²α．
∴tan2α=$\frac{CD}{OD}$=$\frac{sinα•cosα}{\frac{1}{2}-si{n}^{2}α}=\frac{2sinα•cosα}{1-2si{n}^{2}α}$．

点评 本题通过题目提供信息考查了解直角三角形，读懂题目信息并根据信息表示出三角形的三角函数是解题的关键．