题目内容
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=a（x+1）（x-3）（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为M，经过点A的直线l：y=ax+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．（1）直接写出点A的坐标（-1，0）、点B的坐标（3，0）；
（2）如图（1），若顶点M的坐标为（1，4），连接BM、AM、BD，请求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边形ADBM的面积；
（3）如图（2），连接DM，当a为何值时，直线DM与x轴的夹角为45°？
（4）如图（3），点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为$\frac{25}{4}$时，请直接写出此时E点的坐标．
分析 （1）令y=0解方程即可．
（2）用待定系数法即可求出两个函数的解析式，再根据A、D、B、M的坐标求出四边形ADBM的面积．
（3）通过解方程组求出点D坐标，根据直线DM与x轴的夹角为45°列出方程即可求解．
（4）过点E作EF∥y轴，交直线AD于点F，设E（x，ax2-2ax-3a），写出△ACE面积的表达式，根据二次函数的最大值列出方程即可解决．
解答 解：（1）令y=0，a（x+1）（x-3）=0，解得x=-1或3，所以A（-1，0），B（3，0）．
故答案为A（-1，0），B（3，0）．
（2）∵二次函数y=a（x+1）（x-3）顶点为（1，4），
∴4=-4a，
∴a=-1，
∴抛物线为y=-x2+2x+3
∵一次函数y=ax+b经过A（-1，0）
∴0=-a+b，
∴b=a，
∴一次函数为：y=-x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y={-x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴点D（4，-5），
∴S四边形ADBM=S△ABM+S△ABD=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×4×5=18．
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+a}\\{y=a{x}^{2}-2ax-3a}\end{array}\right.$解得到$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5a}\end{array}\right.$，
∴点D（4，5a），
∵顶点M（1，-4a），
∵直线DM与x轴的夹角为45°，
∴-4a-5a=4-1，
∴a=-$\frac{1}{3}$．
（4）过点E作EF∥y轴，交直线AD于点F，设E（x，ax2-2ax-3a），则F（x，ax+a），EF=ax2-2ax-3a-（ax+a）=ax2-3ax-4a，
∵S△ACE=S△AFE-S△CFE=$\frac{1}{2}$（ax2-3ax-4a）•（x+1）-$\frac{1}{2}$（ax2-3ax-4a）•x=$\frac{1}{2}$（ax2-3ax-4a）=$\frac{1}{2}$a（x-$\frac{3}{2}$）2-$\frac{25}{8}a$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，△ACE面积最大值=-$\frac{25}{8}a$=$\frac{25}{4}$，
∴a=-2，
∴此时点E（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{2}$）．
点评 本题考查二次函数、一次函数的有关性质、三角形面积、四边形面积等知识，灵活运用函数与方程的关系是解决问题的关键，本题比较难，需要有一定的代数化简技巧．
智能训练练测考系列答案
| A． | 1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$ | B． | 3，4，6 | C． | $\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，$\sqrt{6}$ | D． | $\sqrt{6}$，$\sqrt{8}$，$\sqrt{10}$ |
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象分别与x轴、y轴相交于A、B、C三点，其对称轴与x轴、线段BC分别交于点E、点F，连接CE，已知点A（-1，0），C（0，-3）．