Question

1．如图，正方形ABCD，点G为AC的中点，作∠EGF=90°，点E在BC上，点F在AB上，EF、BG的交点为P，求证：AF²+CE²=2GP•BG．

Answer 1

分析 由正方形的性质和已知条件得出∠ABG=∠CBA=45°=∠ACB，BG=AG=GC，∠FGB=∠EGC，由ASA证明GFB≌△GCE，得出BF=CE，GF=GE，同理：AF=BE，由勾股定理得出AF²+CE²=BF²+BE²=EF²，得出△GEF是等腰直角三角形，因此EF²=2EG²，再证明△EGP∽△BGE，得出EG²=GP•BG，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，AB=AC，
∵G是AC的中点，
∴∠BGC=∠BGA=90°，∠ABG=∠CBA=45°=∠ACB，BG=AG=GC，
∵∠EGF=90°，
∴∠FGB=∠EGC，
在△GFB和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FGB=∠EGC}&{\;}\\{BG=CG}&{\;}\\{∠ABG=∠BCG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GFB≌△GCE（ASA），
∴BF=CE，GF=GE，
同理：AF=BE，
∴AF²+CE²=BF²+BE²=EF²，
∵∠EGF=90°，
∴△GEF是等腰直角三角形，
∴EF²=2EG²，∠GEF=45°=∠CBG，
又∵∠EGP=∠GBE，
∴△EGP∽△BGE，
∴EG²=GP•BG，
∴AF²+CE²=2GP•BG．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．