Question

10．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，D为AB上一点，DE⊥BC于E，且DE=$\frac{1}{2}$BD，BE=AC．若DE+BC=3，求BD的长．

Answer 1

分析 先利用正弦的定义可求出∠B=30°，设DE=x，则BD=2x，BE=$\sqrt{3}$x，所以AC=$\sqrt{3}$x，再在Rt△ACB利用正切的定义可表示出BC=3x，由于DE+BC=3，则x+3x=3，解得x=$\frac{3}{4}$，所以BD=2x=$\frac{3}{2}$．

解答 解：∵∠C=90°，AB=2AC，
∴sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，
设DE=x，则BD=2x，BE=$\sqrt{3}$x，
所以AC=$\sqrt{3}$x，
∵DE⊥BC，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB，∵tanB=$\frac{AC}{BC}$，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}x}{tan30°}$=3x，
而DE+BC=3，
∴x+3x=3，解得x=$\frac{3}{4}$，
∴BD=2x=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了解直角三角形．