Question

如图，抛物线y=-x²+2x的顶点为M，点P为第四象限的抛物线上一点，以PM为直径的⊙O′恰好以过点O，求P点的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：由抛物线y=-x²+2x的顶点为M，可得出点M的坐标，设点P（x，y），可求出MP的中点N的坐标，进而得到PM与ON的长度，由PM=2ON列方程，可得出x+y=0，由P（x，y）在抛物线y=-x²+2x上，可解得x的值，把x的值代入抛物线即可得出点P的坐标．

解答：解：如图，

∵y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴M（1，1），设P（x，y），
∴MP的中点N的坐标为（

x+1

2

，

y+1

2

），
∴PM=

(x-1)2+(y-1)2

，
ON=

( x+1 2 )2+( y+1 2 )2

，
∵PM=2ON，
∴

(x-1)2+(y-1)2

=2

( x+1 2 )2+( y+1 2 )2

，化简得，x+y=0，
又∵P（x，y）在抛物线y=-x²+2x上，
∴-x=-x²+2x，解得x₁=0（舍去），x₂=3，
把x=3代入y=-9+6=-3．
∴P（3，-3）．

点评：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是利用圆的直径是半径的2倍即PM=2ON，列出方程求解．