Question

已知：点A在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，OA=

13

，OB=2．
（1）求反比例函数的函数解析式；
（2）点P在双曲线y=

k

x

（x＞0）上，点P到y轴的距离是m，过点P作y轴的平行线，交直线OA于点D，设线段PD的长为d （d≠0），求d与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当m=6时，在平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,待定系数法求一次函数解析式,待定系数法求反比例函数解析式,勾股定理,平行四边形的性质

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）运用勾股定理可以求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入y=

k

x

即可求出反比例函数的函数解析式．
（2）根据点A的坐标可求出直线OA的解析式，由于PD∥y轴，因此点P、点D的横坐标都是m，从而可以用m的代数式表示出点P、点D的纵坐标，然后分三种情况（0＜m＜2，m=2，m＞2）进行讨论，就可解决问题．
（3）由m=6可求出点P的坐标，然后分别以AB与AP、BA与BP、PA与PB为平行四边形的邻边进行讨论，就可求出点Q的坐标．

解答：解：（1）∵AB⊥OB，OA=

13

，OB=2，
∴AB=

OA2-OB2

=

13-4

=3．
∴点A的坐标为（2，3）．
∵点A在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴k=2×3=6．
∴反比例函数的解析式为y=

6

x

（x＞0）．

（2）设直线OA的解析式为y=ax．
∵点A（2，3）在直线OA上，
∴3=2a．
∴a=

3

2

．
∴直线OA的解析式为y=

3

2

x．
①当0＜m＜2时，如图1，

∵PD∥y轴，
∴x_D=x_P=m．
∴d=PD=y_P-y_D
=

6

m

-

3

2

m．
②当m=2时，点P、D、A重合，
此时PD=0，与条件PD≠0矛盾，故舍去．
③当m＞2时，如图2，

同理可得：d=y_D-y_P=

3

2

m-

6

m

．
综上所述：当0＜m＜2时，d=

6

m

-

3

2

m；当m＞2时，d=

3

2

m-

6

m

．

（3）当m=6时，y=

6

6

=1，此时点P的坐标为（6，1）．
①若以AB、AP为平行四边形的邻边，如图3，

∵四边形ABQP是平行四边形，
∴AB∥PQ，AB=PQ=3．
∵AB⊥x轴，
∴PQ⊥x轴．
∴点Q的坐标为（6，1-3）即（6，-2）．
②若以BA、BP为平行四边形的邻边，如图4，

同理可得：点Q的坐标为（6，4）．
③若以PA、PB为平行四边形的邻边，
过点Q作QE⊥AB于点E，过点P作PF⊥AB于点F，如图5，

则有∠AEQ=∠BFP=90°．
∵四边形APBQ是平行四边形，
∴QA=PB，QA∥BP．
∴∠QAE=∠PBF．
在△QAE和△PBF中，

∠QAE=∠PBF ∠AEQ=∠BFP QA=PB

．
∴△QAE≌△PBF．
∴QE=PF，AE=BF，
设点Q的坐标为（x，y），
则2-x=6-2，3-y=1-0．
解得：x=-2，y=2．
∴点Q的坐标为（-2，2）．
综上所述：当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为（6，-2）或（6，4）或（-2，2）．

点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，还重点考查了分类讨论的数学思想，是一道好题．