Question

17．如图，已知点A（3，4），点B为直线x=-2上的动点，点C（x，0）且-2＜x＜3，BC⊥AC垂足为点C，连接AB．若AB与y轴正半轴的所夹锐角为α，当tanα的值最大时x的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$
• C． 1
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 设直线x=-2与x轴交于G，过A作AH⊥直线x=-2于H，AF⊥x轴于F，根据平行线的性质得到∠ABH=α，由三角函数的定义得到tanα=$\frac{5}{BH}$，根据相似三角形的性质得到比例式$\frac{y}{3-x}$=$\frac{x+2}{4}$，于是得到y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（3-x）=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{16}$，根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：如图，设直线x=-2与x轴交于G，过A作AH⊥直线x=-2于H，AF⊥x轴于F，

∵BE∥y轴，
∴∠ABH=α，
在Rt△ABH中，tanα=$\frac{5}{BH}$，
∵tanα随BH的增大而减小，
∴当BH最小时tanα有最大值；即BG最大时，tanα有最大值，
∵∠BGC=∠ACB=∠AFC=90°，
∴∠GBC+∠BCG=∠BCG+∠ACF=90°，
∴∠GBC=∠ACF，
∴△ACF∽△CBG，
∴$\frac{BG}{CF}$=$\frac{CG}{AF}$，即$\frac{y}{3-x}$=$\frac{x+2}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$（x+2）（3-x）=-$\frac{1}{4}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{16}$，
当x=$\frac{1}{2}$时，y_max=$\frac{25}{16}$
故选：A．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线证得△ACF∽△CBG是解题的关键．