Question

17．如图，四边形ABCD为正方形，∠AEC=90°，过点E作EF⊥AD交BC于点I，交AD于点F，连接BF交AE于点G，连接CG，交DF=3，AB=5，则tan∠CGE=$\frac{11\sqrt{2}}{24}$．

Answer 1

分析 由△AEF∽△ECI，设EI=x，得$\frac{AF}{EI}$=$\frac{EF}{IC}$，列出方程求出x，再求出AE，EC，由AB∥EF，推出$\frac{AG}{GE}$=$\frac{AB}{EF}$=$\frac{5}{6}$，即可求出EG，由此即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=5，AD∥BC，
∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC，
∴∠DFE=∠EIC=∠D=90°，
∴四边形DFIC是矩形，
∴DF=CI=3，
∵∠AEF+∠CEI=90°，∠CEI+∠ECI=90°，
∴∠AEF=∠ECI，∵∠AFE=∠EIC=90°，
∴△AEF∽△ECI，设EI=x，
∴$\frac{AF}{EI}$=$\frac{EF}{IC}$，
∴$\frac{2}{x}$=$\frac{5+x}{3}$，
∴x²+5x-6=0，
∴x=1或-6，
∴IE=1，EF=6，EC=$\sqrt{E{I}^{2}+I{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵AB∥EF，
∴$\frac{AG}{GE}$=$\frac{AB}{EF}$=$\frac{5}{6}$，
∴EG=$\frac{6}{11}$×2$\sqrt{10}$=$\frac{12\sqrt{10}}{11}$，
∴tan∠EGC=$\frac{EC}{EG}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{12\sqrt{10}}{11}}$=$\frac{11\sqrt{2}}{24}$．

点评 本题考查正方形的性质．解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质求出IE，利用平行线分线段成比例定理求出GE，属于中考常考题型．