Question

3．抛物线y=（x-1）²-k与x轴交于点A（-1，0）和点B，点C在抛物线上，且S_△ABC=8，求点C的坐标．

Answer 1

分析 先把点代入y=（x-1）²-k可得k=4，则得到抛物线解析式为y=x²-2x-3，再解方程x-1）²-4=0B（3，0），设C（t，t²-2t-3），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t²-2t-3|=8，然后解关于t的绝对值方程即可得到C点坐标．

解答 解：把A（-1，0）代入y=（x-1）²-k得4-k=0，解得k=4，
所以抛物线解析式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3，
当y=0时，（x-1）²-4=0，解得x₁=-1，x₂=3，则B（3，0），
设C（t，t²-2t-3），
因为S_△ABC=8，
所以$\frac{1}{2}$•（3+1）•|t²-2t-3|=8，
当t²-2t-3=4，解得t₁=1+2$\sqrt{2}$，t₂=1-2$\sqrt{2}$，此时C点坐标为（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4），
当t²-2t-3=-4，解得t₁=t₂=1，此时C点坐标为（1，-4），
综上所述，点C的坐标为（1+2$\sqrt{2}$，4）或（1-2$\sqrt{2}$，4）或（1，-4）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0．也考查了三角形面积公式．