Question

19．如图，Rt△ACB中，∠C=90°，AB=5，AC=4，D是CB上的动点，则$\frac{1}{2}$BD+AD的最小值是$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．

Answer 1

分析 如图，延长AC到M，使得∠CBM=30°，作AN⊥BM于N交BC于D．过D′作D′N′⊥BM．则DN=$\frac{1}{2}$BD，D′N′=$\frac{1}{2}$BD′．可以证明AN⊥BM时，AD+$\frac{1}{2}$BD=AN最短，求出AN即可．

解答 解：如图，延长AC到M，使得∠CBM=30°，作AN⊥BM于N交BC于D．过D′作D′N′⊥BM．则DN=$\frac{1}{2}$BD，D′N′=$\frac{1}{2}$BD′．

∵AD′+$\frac{1}{2}$BD′=AD′+D′N′≥AN′≥AN，
即AD′+$\frac{1}{2}$BD′≥AD+$\frac{1}{2}$BD，
∴当A、D、N共线时，AD+$\frac{1}{2}$BD最短，
即AN⊥BM时，AD+$\frac{1}{2}$BD=AN最短，
∵S_△ABM=$\frac{1}{2}$•AM•BC=$\frac{1}{2}$•BM•AN，
∴AN=$\frac{AM•CB}{BM}$=$\frac{3×（4+\sqrt{3}）}{2\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．
∴AD+$\frac{1}{2}$BD的最小值为$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．
故答案为$\frac{4\sqrt{3}+3}{2}$．

点评 本题考查轴对称最短问题、勾股定理、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是构造30度的直角三角形解决问题，学会灵活运用垂线段最短解决最小值问题，属于中考常考题型．