Question

20．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图2）．
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当DB′∥AE时，在图1中用尺规作出旋转后的图形，直接写出旋转角α的度数60°．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到AB′=AB=AC′=AC，∠B′AC′=∠BAC=90°，则利用等角的余角相等得∠DAB′=∠EAC′，然后利用“SAS”证明△ADB′≌△AEC′，所以DB′=EC′；
（2）过D点作AB的垂线，再以点A为圆心，AB为半径画弧交垂线于B′，接着过A点作AC′⊥AB′，且AC′=AC，则△AB′C′为所作；由于在Rt△ADB′中，AB′=2AD，所以∠AB′D=30°，则∠DAB′=60°，即旋转角为60°．

解答 解：（1）DB′与EC′相等．利用如下：
如图2，

∵AB=AC，D、E分别是AB、AC边的中点，
∴AD=AE，
∵△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′，
∴AB′=AB=AC′=AC，∠B′AC′=∠BAC=90°，
∴∠DAB′=∠EAC′，
在△ADB′和△AEC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB′=∠EAC′}\\{AB′=AC′}\end{array}\right.$，
∴△ADB′≌△AEC′，
∴DB′=EC′；
（2）如图1，△AB′C′为所作，
旋转角α的度数为60°．

故答案为60°．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了作图-旋转变换．