Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE=2

3

，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）根据垂径定理由OC⊥DE得EC=

1

2

DE=

3

，由弦DE垂直平分半径OA得OC=

1

2

OA=

1

2

OE，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠E=30°，OC=

3

3

CE=1，所以OE=2；
（2）连结OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如图，根据圆周角定理得∠EOF=2∠EPF=90°，则根据扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S_扇形EOF-S_△OEF计算得到S_阴影=π-2；再利用勾股定理计算出BD=2

3

，易得△BED为等边三角形，则∠BED=60°，所以∠BFD=∠BED=60°，利用△PCD为等腰直角三角形得到PC=DC=

3

，可计算得PB=3-

3

，在Rt△PBH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=PH=

2

2

PB=

3 2 - 6

2

，在Rt△BHF中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到HF=

3

3

BH=

6 - 2

2

，则PF=PH+HF

2

，然后根据三角形面积公式计算．

解答：解：（1）∵OC⊥DE，
∴DC=EC=

1

2

DE=

1

2

×2

3

=

3

，
∵弦DE垂直平分半径OA，
∴OC=

1

2

OA=

1

2

OE，
在Rt△OCE中，∵OE=2OC，
∴∠E=30°，
∴OC=

3

3

CE=1，
∴OE=2，
即⊙O的半径为2；
（2）连结OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如图，
∵∠DPA=45°，
∴∠DDC=45°，
∴∠EOF=2∠EPF=90°，△PCD为等腰直角三角形，
∴图中阴影部分的面积=S_扇形EOF-S_△OEF
=

90•π•22

360

-

1

2

•2•2
=π-2；
∵BC=AB-AC=4-1=3，
而DC=

3

，
∴BD=

DC2+BC2

=2

3

，
∵BC垂直平分DE，
∴BD=BE=2

3

，
∵BD=DE=BE，
∴△BED为等边三角形，
∴∠BED=60°，
∴∠BFD=∠BED=60°，
∵△PCD为等腰直角三角形，
∴PC=DC=

3

，
∴OP=PC-OC=

3

-1，
∴PB=2-（

3

-1）=3-

3

，
在Rt△PBH中，∠BPH=∠DPC=45°，
∴BH=PH=

2

2

PB=

3 2 - 6

2

，
在Rt△BHF中，∠HBF=30°，
∴HF=

3

3

BH=

3

3

•

3 2 - 6

2

=

6 - 2

2

，
∴PF=PH+HF=

3 2 - 6

2

+

6 - 2

2

=

2

，
∴S_△PBF=

1

2

•

2

•

3 2 - 6

2

=

3- 3

2

．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．