Question

已知四边形ABCD，∠B+∠D=180°，∠BCD=120°，BC=CD，点M、N分别在直线AB、AD上，∠MCN=60°，现将∠MCN绕点C旋转．

（1）如图1，当点M在AB上，点N在AD上时，则线段BM、DN、MN之间的数量关系为

 

；
（2）如图2，点M在BA的延长线上，点N在AD的延长线上时，则线段BN、DM、MN之间的数量关系为

 

；
（3）如图3，点M在AB的延长线上，点N在DA的延长线时，则线段BM、DN、MN之间的数量关系为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）在DN的延长线上截取DM₁=BM，连接CM₁．可证△DCM≌△CDM₁，即可得CM=CM₁，∠MCB=∠M₁CD，M₁C=BM，易证得∠M₁CN=∠MCN=60°，则可证得△MCN≌△M₁CN，然后由全等三角形的性质，即可得BM+NC=MN．
（2）首先在BN上截取BM₁=DM，连接CM₁，可证△DCM≌△BCM₁，即可得DM=DM₁，DM=BM₁，∠M₁CB=∠MCD，然后证得∠M₁CN=∠MCN=60°，易证得△MCN≌△M₁CN，则可得MN+DM=BN．
（3））首先在DN上截取DM₁=BM，连接CM₁，可证CBM≌△CDM₁，即可得CM=CM₁，∠MCB=∠M₁CD，BM=DM₁，然后证得∠M₁CN=∠MCN=60°，易证得△MCN≌△M₁CN，则可得ND-BM=MN．

解答：（1）答：如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN．
 
证明：在DN的反向延长线上截取DM₁=BM，连接CM₁．
∵∠B+∠D=180°，∠CDN+∠CDM=180°，
∴∠B=∠CDM，
在△BCM与△DCM₁中，

BM=DM1 ∠B=∠CDM1 BC=CD

，
∴△BCM≌△DCM₁（SAS），
∴CM=CM₁，∠MCB=∠M₁CD，M₁C=BM，
∵∠MCN=60°，∠BCD=120°，
∴∠M₁CN=∠MCN=60°，
∴△MCN≌△M₁CN，
∴MN=M1N=M₁D+ND=BM+ND，
即MN=BM+ND．

（2）MN+DN=BM；
证明：如图2，在BM上截取BN₁=DN，连接CN₁．

可证△DCN≌△BCN₁，
∴CN=CN₁，DN=BN₁，∠N₁CB=∠NCD，
∵∠MCN=60°，∠BCD=120°，
∴∠N₁CM=∠MCN=60°，
在△MCN与△MCN₁中，

BN1=DN ∠MCN1=∠MCN BC=CD

，
∴△MCN≌△MCN₁（SAS），
∴MN=MN₁，
∴MN+DN=BM．

（3）ND-BM=MN；
证明：如图3，在DN上截取DM₁=BM，连接CM₁．

可证△CBM≌△CDM₁，
∴CM=CM₁，∠MCB=∠M₁CD，BM=DM₁，
∵∠MCN=60°，∠BCD=120°，
∴∠M₁CN=∠MCN=60°，
在△NCM1和△NCM中

CM1=CM ∠N1CM=∠NCM CN=CN

，
∴△NCM1≌△NCM（SAS），
∴MN=M₁N，
∴ND-BM=MN．

点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．