Question

2．在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=30°，以AB为斜边作等腰直角△ABD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，利用勾股定理以及直角三角形的性质求出BC的长，分两种情况，求出BC边上的高，进而求出答案．

解答 解：分两种情况：
①如图1所示：作BM⊥AC与M，
∵∠BAC=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴AM=$\sqrt{3}$BM=2$\sqrt{3}$，
∴CM=AC-AM=4-2$\sqrt{3}$，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{B{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（4-2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，
作DE⊥BC于E，∵AB=AC=4，∠BAC=30°，
∴∠ABC=75°，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴∠DBE=180°-45°-75°=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{6}$，
∴△BCD的面积=$\frac{1}{2}$BC•DE=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$）×$\sqrt{6}$=6-2$\sqrt{3}$；
②如图2所示：作DF⊥BC于F，
∵∠DBF=75°-45°=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
∴△BCD的面积=$\frac{1}{2}$BC•DF=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$）×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{3}$-2．

点评 此题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，得出BC的长是解题关键，注意分类讨论．