Question

12．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=45°．分别以BC、CD为边向外作△BCF和△DCE，使BF=BC，DE=DC，∠FBC=∠CDE，延长AB交边FC于点H，点H在F、C两点之间，连结AE、AF、DF．
（1）求证：△ABF≌△EDA．
（2）当AE⊥AF时，求∠FBH的度数．
（3）在（2）的条件下，若B为AH的中点，求sin∠ADF的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC，又由BE=BC，DF=DC，∠EBC=∠CDF，即可证得AB=FD，EB=AD，∠ABE=∠FDA，则可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AFB=∠DAE，然后根据已知条件即可得到结论；
（3）根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质得到AD∥BC，求得∠FBC=90°，延长FB交AD于G，证得△ABG与△BHF是等腰直角三角形，设AG=BG=x，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到GF，DF的长度，然后又三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC，
∵BF=BC，DE=DC，∠FBC=∠CDE，
∴AB=ED，FB=AD，∠ABF=∠EDA，
在△ABF和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=ED}\\{∠ABF=∠EDA}\\{FB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△EDA（SAS）；

（2）∵△ABF≌△EDA，
∴∠AFB=∠DAE，
∵AE⊥AF，∠BAD=45°，
∴∠FAB+∠DAE=90°-∠BAD=45°，
∴∠FBH=∠FAB+∠AFB=∠FAB+∠DAE=45°；

（3）∵△ABF≌△EDA，
∴AD=BF，DE=AB，
∵BF=BC，DE=DC，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBH=∠BAD=45°，
∴∠FBC=90°，
延长FB交AD于G，
∴∠DGB=∠FBC=90°，
∴△ABG与△BHF是等腰直角三角形，
设AG=BG=x，
∴AB=BH=$\sqrt{2}$x，
∴BF=AD=2x，
∴DG=x，GF=3x，
∴DF=$\sqrt{10}$x，
∴sin∠ADF=$\frac{GF}{DF}$=$\frac{3x}{\sqrt{10}x}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义，注意证得AB=ED，FB=AD，∠ABF=∠EDA是关键．