Question

10．如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°，AD，BC的延长线交于点F，DC，AB的延长线交于点E，∠E，∠F的平分线交于点H．求证：EH⊥FH．

Answer 1

分析 连接EF，根据三角形的内角和得到∠CFE+∠CEF+∠FCE=180°，根据已知条件得到∠BAD+∠FCE=180°，由角平分线的性质得到∠CFH=$\frac{1}{2}$∠CFA，∠HEC=$\frac{1}{2}$∠BED，在△AEF中，根据三角形的内角和推出∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE=90°，在△HEF中，根据三角形的内角和推出∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE+∠H=180°，即可得到结论．

解答 解：连接EF，则∠CFE+∠CEF+∠FCE=180°，
∵∠BAD+∠BCD=180°，∠FCE=∠BCD，
∴∠BAD+∠FCE=180°，
∵∠E，∠F的平分线交于点H，
∴∠CFH=$\frac{1}{2}$∠CFA，∠HEC=$\frac{1}{2}$∠BED，
在△AEF中，
∵∠A+∠CFA+∠CFE+∠CEF+∠BED=180°，
∴∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE=90°，
在△HEF中，
∠CFH+∠BEH+∠CEF+∠FCE+∠H=180°，
∴∠H=90°，
∴EH⊥FH．

点评 本题考查了三角形的内角和，多边形的内角和外角，正确的作出辅助线是解题的关键．