Question

13．欧拉线：非等边三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线．求证：重心到外心的距离等于重心到垂心距离的一半．

Answer 1

分析 首先根据重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1得到AG=2DG，AH⊥BC，OD⊥BC，从而得到AH∥OD，进一步得到△AGH∽△DGO，利用相似三角形的性质得到GO=$\frac{1}{2}$AH即可证得结论．

解答 证明：如图，点O、G、H分别为△ABC的外心、重心、垂心，AD为BC边上的中线，
则AG=2DG（重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1），AH⊥BC，OD⊥BC，
∴AH∥OD，
∴△AGH∽△DGO，
∴$\frac{AH}{GO}=\frac{AG}{DG}$=2，
∴GO=$\frac{1}{2}$AH，
∴重心到外心的距离等于重心到垂心距离的一半．

点评 本题考查了三角形的五心，解题的关键是了解重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，难度不大．