Question

已知O为等边△ABC内的一点，OA=6，OB=8，OC=10，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：将△AOB沿逆时针旋转至△ADC，将△AOC沿逆时针旋转至△BEC，将△BOC沿逆时针旋转至△BFA，得出OA=AD，∠OAB=∠DAC，OC=EC，∠OCB=∠ECB，从而得出△OAD是等边三角形，△ODC是直角三角形，即可得到S_△OAD=

1

2

OA•

3

2

OA=

1

2

×6×

3

2

×6=9

3

，S_△ODC=

1

2

OD•DC=

1

2

×6×8=24，得出S_△OAB+S_△OAC=S_△OAD+，S_△ODC=9

3

+24，同理得出S_△OBC+S_△OAC=S_△OCE+S_△BOE=24+25

3

，S_△OBC+S_△OAB=S_△OBF+S_△AOF=16

3

+24，三个式子相加除以2即是三角形ABC的面积．

解答：解：将△AOB沿逆时针旋转至△ADC，将△AOC沿逆时针旋转至△BEC，将△BOC沿逆时针旋转至△BFA，
∴OA=AD，∠OAB=∠DAC，OC=EC，∠OCB=∠ECB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠OAD=60°，∠OCE=60°，
∴△OAD是等边三角形，
∴OD=OA=6，
∵CD=OB=8，AC=10，
∴OD²+DC²=OC²，
∴△ODC是直角三角形，
∴S_△OAD=

1

2

OA•

3

2

OA=

1

2

×6×

3

2

×6=9

3

，S_△ODC=

1

2

OD•DC=

1

2

×6×8=24，
∴S_△OAB+S_△OAC=S_△OAD+，S_△ODC=9

3

+24，
同理可得：S_△OCE=

1

2

×10×

3

2

×10=25

3

，S_△BOE=

1

2

×6×8=24，
∴S_△OBC+S_△OAC=S_△OCE+S_△BOE=24+25

3

，
S_△OBF=

1

2

×8×

3

2

×8=16

3

，S_△AOF=

1

2

×6×8=24，
∴S_△OBC+S_△OAB=S_△OBF+S_△AOF=16

3

+24，
∴S_△ABC=

1

2

（9

3

+24+25

3

+24+16

3

+24）=25

3

+36．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握性质定理是关键．