Question

14．如图，已知AB∥DC，∠ABC=∠ADC，AE=CF，BE=DF，求证：EF与AC互相平分．

Answer 1

分析 连接AF、CE，由平行线的性质得出∠ABC+∠BCD=180°，∠BAC=∠DCA，证出∠ADC+∠BCD=180°，得出AD∥BC，证出四边形ABCD是平行四边形，得出AB=CD，由SSS证明△ABE≌△CDF，得出AE=CF，证出AE∥CF，得出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．

解答 证明：连接AF、CE，如图所示：
∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAC=∠DCA，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{BE=DF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SSS），
∴AE=CF，∠BAE=∠DCF，
∴∠EAC=∠FCA，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EF与AC互相平分．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．