Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y=x²-3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．
（1）求点M、A、B坐标；
（2）连结AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；
（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α=∠ABM时，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据平移规律写出抛物线解析式，再求出M、A、B坐标即可．
（2）首先证明△ABE∽△AMF，推出$\frac{AM}{AB}$的值，∠BAM=90°，根据tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$即可解决问题．
（3）分点P在x轴上方或下方两种情形解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²-3向右平移一个单位后得到的函数解析式为y=（x-1）²-3，
∴顶点M（1，-3），
令x=0，则y=（0-1）²-3=-2，
∴点A（0，-2），
x=3时，y=（3-1）²-3=4-3=1，
∴点B（3，1），
（2）过点B作BE⊥AO于E，过点M作MF⊥AO于M，
∵EB=EA=3，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
同理可求∠FAM=∠FMA=45°，
∴△ABE∽△AMF，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AF}{AE}$=$\frac{1}{3}$，
又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，
∴tan∠ABM=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
（3）过点P作PH⊥x轴于H，
∵y=（x-1）²-3=x²-2x-2，
∴设点P（x，x²-2x-2），
①点P在x轴的上方时，$\frac{{x}^{2}-2x-2}{x}$=$\frac{1}{3}$，
整理得，3x²-7x-6=0，
解得x₁=-$\frac{2}{3}$（舍去），x₂=3，
∴点P的坐标为（3，1）；
②点P在x轴下方时，$\frac{-（{x}^{2}-2x-2）}{x}$=$\frac{1}{3}$，
整理得，3x²-5x-6=0，
解得x₁=$\frac{5-\sqrt{97}}{6}$（舍去），x₂=$\frac{5+\sqrt{97}}{6}$，x=$\frac{5+\sqrt{97}}{6}$时，y=x²-2x-2=$-\frac{{5+\sqrt{97}}}{18}$，
∴点P的坐标为（$\frac{{5+\sqrt{97}}}{6}$，$-\frac{{5+\sqrt{97}}}{18}$），
综上所述，点P的坐标为（3，1）或（$\frac{{5+\sqrt{97}}}{6}$，$-\frac{{5+\sqrt{97}}}{18}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、待定系数法等知识，解题的关键是掌握平移规律，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会分类讨论，注意考虑问题要全面，属于中考压轴题．