Question

4．有10个正实数，这些数中每两个乘积恰好为1，这时甲同学断言，任何9个数的和不小于$\sqrt{2}$；乙同学断言：任何9个数的和小于$\sqrt{2}$，则两位同学甲正确．

Answer 1

分析 由每两个乘积恰好为1，判断任意两数互为倒数，任意9数的和列出代数式，根据a²+b²≥2ab从而确定和的范围．

解答 解：∵这些数中每两个乘积恰好为1，且都是正数，
∴任意两个数互为倒数，
故可设这两数分别为x，$\frac{1}{x}$（x＞0，$\frac{1}{x}$＞0），且x•$\frac{1}{x}$=1；
根据题意，任意9个数的和为：
①$4（x+\frac{1}{x}）+x$=5x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{5x•\frac{4}{x}}$=4$\sqrt{5}$；
②$4（x+\frac{1}{x}）+\frac{1}{x}$=4x+$\frac{5}{x}$≥2$\sqrt{4x•\frac{5}{x}}$=4$\sqrt{5}$；
∵4$\sqrt{5}$＞$\sqrt{2}$，
∴任意9个数的和不小于$\sqrt{2}$．
故答案为：甲．

点评 本题主要考查倒数的性质及a²+b²≥2ab的应用，根据题意列出代数式并确定范围是关键．