Question

18．如图，Rt△ABC中，直角边AC=7cm，BC=3cm，CD为斜边AB上的高，点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．
（1）求证：∠A=∠BCD；
（2）点E运动多长时间，CF=AB？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质即可得到结论；
（2）如图，当点E在射线BC上移动时，若E移动5s，则BE=2×5=10cm，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，

（2）如图，当点E在射线BC上移动时，若E移动5s，则BE=2×5=10cm，
∴CE=BE-BC=10-3=7cm．
∴CE=AC，
在△CFE与△ABC中$\left\{\begin{array}{l}{∠ECF=∠A}\\{CE=AC}\\{∠CEF=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴△CEF≌△ABC，
∴CF=AB，
当点E在射线CB上移动时，若E移动2s，则BE′=2×2=4cm，
∴CE′=BE′+BC=4+3=7cm，
∴CE′=AC，
在△CF′E′与△ABC中$\left\{\begin{array}{l}{∠E′CF=∠A}\\{CE′=AC}\\{∠CEF′=∠ACD=90°}\end{array}\right.$，
∴△CF′E′≌△ABC，
∴CF′=AB，
总之，当点E在射线CB上移动5s，或2s时，CF′=AB．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键．