Question

【题目】如图，点B（a，b）在第一象限，过B作BA⊥y轴于A，过B作BC⊥x轴于C，且实数a、b满足（a-b-2）2+|2a+b-10|≤0，含45角的Rt△DEF的一条直角边DF与x轴重合，DE⊥x轴于D，点F与坐标原点重合，DE=DF=3．△DEF从某时刻开始沿着坐标轴以1个单位长度每秒的速度匀速运动，运动时间为t秒．

（1）求点B的坐标；

（2）若△DEF沿着y轴负方向运动，连接AE，EG平分∠AEF，EH平分∠AED，当EG∥DF时，求∠HEF的度数；

（3）若△DEF沿着x轴正方向运动，在运动过程中，记△AEF与长方形OABC重叠部分的面积为S，当0＜t≤4，S=时，请你求出运动时间t．

Answer 1

【答案】（1）B（4，2）；（2）∠HEF==22.5°；（3）t=1或4s.

【解析】

（1）利用非负数的性质即可解决问题；

（2）当EG∥DF时，只要证明∠AWED=135°，即可解决问题；

（3）分两种情形①如图2中，当0＜t＜2时，重叠部分是△APF，S=（2-t）t=t-t2，②如图3中，当2＜t≤4时，重叠部分是△PAF，S=（t-2）2=t-2，分别构建方程即可解决问题；

解：（1）∵（a-b-2）2+|2a+b-10|≤0，

又∵（a-b-2）2≥0，|2a+b-10|≥0，

∴，

解得，

∴B（4，2）．

（2）如图1中，设EG交y轴于N．

当EG∥DF时，∠NEF=∠EFD=45°，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEN=45°，

∵DE∥FN，EN∥DF，

∴四边形DENF是平行四边形，

∵∠EDF=90°，DE=DF，

∴四边形DENF是正方形，

∴∠DEN=90°，

∴∠AED=135°，

∵EH平分∠AED，

∴∠DEH=×135°=67.5°，

∵∠DEF=45°，

∴∠HEF=∠DEH-∠DEF=22.5°．

（3）①如图2中，当0＜t＜2时，重叠部分是△APF，S=（2-t）t=t-t2，

由题意：t-t2=t，

解得t=1，．

②如图3中，当2＜t≤4时，重叠部分是△PAF，S=（t-2）2=t-2，

由题意：t-2=t，解得t=4，

综上所述，当t=1或4s时，满足条件，S=t．