题目内容

【题目】如图,已知AB⊙O的直径,BP⊙O的弦,弦CD⊥AB于点F,交BP于点GECD的延长线上,EP=EG

1)求证:直线EP⊙O的切线;

2)点P在劣弧AC上运动,其他条件不变,若BG2=BFBO.试证明BG=PG

3)在满足(2)的条件下,已知⊙O的半径为3sinB=.求弦CD的长.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(34

【解析】试题分析:(1)证明:连结OP∵EP=EG∴∠EPG=∠EGP,又∵∠EGP=∠BGF∴∠EPG=∠BGF∵OP=OB∴∠OPB=∠OBP∵CD⊥AB∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°∴∠EPG+∠OPB=90°直线EP⊙O的切线;

2)证明:如图,连结OGOP∵BG2=BFBO=∴△BFG∽△BGO∴∠BGO=∠BFG=90°,由垂径定理知:BG=PG

3)解:如图,连结ACBCOGOP∵sinB==∵OB=r=3∴OG=,由(2)得∠EPG+∠OPB=90°∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°∴∠B=∠OGF∴sin∠OGF==∴OF=1∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2FA=OF+OA=1+3=4,在Rt△BCA中, CF2=BFFA∴CF===2∴CD=2CF=4

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