Question

5．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=$\sqrt{2}$c，这时我们把关于x的形如ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0必有实数根．
（2）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是6$\sqrt{2}$，求△ABC面积．

Answer 1

分析 （1）只要证明△≥0即可解决问题．
（2）当x=-1时，有a-$\sqrt{2}$c+b=0，即a+b=$\sqrt{2}$c，由2a+2b+$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，即2（a+b）+$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，推出c=2，推出a²+b²=c²=4，a+b=2$\sqrt{2}$，由（a+b）²=a²+2ab+b²，可得ab=2，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：由题意，得
△=（$\sqrt{2}$c）²-4ab=2c²-4ab，
∵a²+b²=c²，
∴2c²-4ab=2（a²+b²）-4ab=2（a-b）²≥0，
即△≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax²+$\sqrt{2}$cx+b=0必有实数根

（2）解：当x=-1时，有a-$\sqrt{2}$c+b=0，即a+b=$\sqrt{2}$c，
∵2a+2b+$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，即2（a+b）+$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，
∴3$\sqrt{2}$c=6$\sqrt{2}$，
∴c=2，
∴a²+b²=c²=4，a+b=2$\sqrt{2}$，
∵（a+b）²=a²+2ab+b²，
∴ab=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab=1．

点评 本题考查勾股定理的应用、一元二次方程的根与系数的关系、完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．