题目内容
如图，直线y=x+1与y轴交于点A，与反比例函数y=| k |
| x |
| 1 |
| 2 |
（1）求k的值；
（2）设点P为反比例函数y=
| k |
| x |
（3）设点D（1，a）是反比例函数y=
| k |
| x |
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）首先求得A的坐标，然后根据正切函数的定义求得OC的长，然后证明△BEC是等腰直角三角形，即可求得B的坐标，利用待定系数法求得k的值；
（2）设P的横坐标是x，则纵坐标是
，Q的坐标是（x，x+1），然后分x＜2和x＞2两种情况即可求得PQ的长，然后根据三角形的面积公式列方程求得x的值，进而求得Q的坐标；
（3）求得D关于y轴的对称点D'坐标，然后利用待定系数法求得直线D'B的解析式，求出直线与y轴的交点即可．D'B的长就是及BM+DM的最小值．
（2）设P的横坐标是x，则纵坐标是
| 6 |
| x |
（3）求得D关于y轴的对称点D'坐标，然后利用待定系数法求得直线D'B的解析式，求出直线与y轴的交点即可．D'B的长就是及BM+DM的最小值．
解答：解：（1）在y=x+1中，令x=0，解得：y=1，则A的坐标是（0，1），令y=0，解得：x=-1，则E的坐标是（-1，0）．
则OA=OE，即△OAE是等腰直角三角形．
∵tan∠ACO=
，即
=
，
∴OC=2，即C的坐标是（2，0），EC=3．
∵BC⊥x轴，
∴△OAE∽△BEC．
∴△BEC是等腰直角三角形．
∴BC=OE=3，
∴B的坐标是（2，3）．
代入y=
得：k=6；
（2）设P的横坐标是x，则纵坐标是
，
在y=x+1，Q的坐标是（x，x+1）．
则当x＜2时，PQ=
-x-1，根据题意得：
x（
-x-1）=2，
解得：x=1或-2（舍去）．
则Q的坐标是（1，2）；
当x＞2时，PQ=x+1-
，根据题意得：
x（x+1-
）=2，
解得：x=
（舍去）或
．
则Q的坐标是（
，
）；
（3）在y=
中，当x=1时，y=6，则D的坐标是（1，6）．
D关于y轴的对称点D'坐标是（-1，6）．
设D'B的解析式是：y=kx+b，
根据题意得：
，
解得：
，
则直线的解析式是y=-x+5．
令x=0，解得y=5，
则M的坐标是（0，5）．
∵D'B=
=3
．
∴BM+DM最小值=D'B=3
．
则OA=OE，即△OAE是等腰直角三角形．
∵tan∠ACO=
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OC |
| 1 |
| 2 |
∴OC=2，即C的坐标是（2，0），EC=3．
∵BC⊥x轴，
∴△OAE∽△BEC．
∴△BEC是等腰直角三角形．
∴BC=OE=3，
∴B的坐标是（2，3）．
代入y=
| k |
| x |
（2）设P的横坐标是x，则纵坐标是
| 6 |
| x |
在y=x+1，Q的坐标是（x，x+1）．
则当x＜2时，PQ=
| 6 |
| x |
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| x |
解得：x=1或-2（舍去）．
则Q的坐标是（1，2）；
当x＞2时，PQ=x+1-
| 6 |
| x |
| 1 |
| 2 |
| 6 |
| x |
解得：x=
-1-
| ||
| 2 |
-1+
| ||
| 2 |
则Q的坐标是（
-1+
| ||
| 2 |
1+
| ||
| 2 |
（3）在y=
| 6 |
| x |
D关于y轴的对称点D'坐标是（-1，6）．
设D'B的解析式是：y=kx+b，
根据题意得：
|
解得：
|
则直线的解析式是y=-x+5．
令x=0，解得y=5，
则M的坐标是（0，5）．
∵D'B=
| (-1-2)2+(6-3)2 |
| 2 |
∴BM+DM最小值=D'B=3
| 2 |
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及相似三角形的判定与性质，正确利用x表示出PQ的长是关键．
练习册系列答案
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