题目内容

如图，直线y=x+1与y轴交于点A，与反比例函数y=
k
x
（x＞0）的图象交于点B，过B作BC⊥x轴子点C，且tan∠ACO=
1
2
．
（1）求k的值；
（2）设点P为反比例函数y=
k
x
（x＞0）的图象上一点，过点P作PQ∥y轴交直线y=x+1于点Q，连接AP，AQ，若△APQ的面积S=2．求点Q的坐标；
（3）设点D（1，a）是反比例函数y=
k
x
（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点M使得BM+DM最小？若存在，求出点M的坐标及BM+DM的最小值；若不存在，请说明理由．
考点：反比例函数综合题
专题：
分析：（1）首先求得A的坐标，然后根据正切函数的定义求得OC的长，然后证明△BEC是等腰直角三角形，即可求得B的坐标，利用待定系数法求得k的值；
（2）设P的横坐标是x，则纵坐标是
6
x
，Q的坐标是（x，x+1），然后分x＜2和x＞2两种情况即可求得PQ的长，然后根据三角形的面积公式列方程求得x的值，进而求得Q的坐标；
（3）求得D关于y轴的对称点D'坐标，然后利用待定系数法求得直线D'B的解析式，求出直线与y轴的交点即可．D'B的长就是及BM+DM的最小值．
解答：解：（1）在y=x+1中，令x=0，解得：y=1，则A的坐标是（0，1），令y=0，解得：x=-1，则E的坐标是（-1，0）．
则OA=OE，即△OAE是等腰直角三角形．
∵tan∠ACO=
1
2
，即
OA
OC
=
1
2
，
∴OC=2，即C的坐标是（2，0），EC=3．
∵BC⊥x轴，
∴△OAE∽△BEC．
∴△BEC是等腰直角三角形．
∴BC=OE=3，
∴B的坐标是（2，3）．
代入y=
k
x
得：k=6；
（2）设P的横坐标是x，则纵坐标是
6
x
，
在y=x+1，Q的坐标是（x，x+1）．
则当x＜2时，PQ=
6
x
-x-1，根据题意得：
1
2
x（
6
x
-x-1）=2，
解得：x=1或-2（舍去）．
则Q的坐标是（1，2）；
当x＞2时，PQ=x+1-
6
x
，根据题意得：
1
2
x（x+1-
6
x
）=2，
解得：x=
-1-
41
2
（舍去）或
-1+
41
2
．
则Q的坐标是（
-1+
41
2
，
1+
41
2
）；
（3）在y=
6
x
中，当x=1时，y=6，则D的坐标是（1，6）．
D关于y轴的对称点D'坐标是（-1，6）．
设D'B的解析式是：y=kx+b，
根据题意得：
-k+b=6
2k+b=3
，
解得：
k=-1
b=5
，
则直线的解析式是y=-x+5．
令x=0，解得y=5，
则M的坐标是（0，5）．
∵D'B=
(-1-2)2+(6-3)2
=3
2
．
∴BM+DM最小值=D'B=3
2
．
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及相似三角形的判定与性质，正确利用x表示出PQ的长是关键．
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3
5
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