Question

12．在平面直角坐标系中，已知点A（8，0）、B（0，6），以AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，则另一顶点C的坐标为（7，7），（14，8），（6，14）．

Answer 1

分析 分CA=CB、BC=BA、AC=AB三种情况，通过构建全等三角形得出点C的横纵坐标即可得答案．

解答 解：①如图1，过点C作CD⊥OA于D，CE⊥OB于E．

∵∠BCA=∠DCE=90°，
在△ACD与△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE=AD，CE=CD=OE，
∵AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=5$\sqrt{2}$，
CE²+（CE-6）²=BC²=50，
解得CE=7或-1（不合题意舍去）．
则点C坐标为（7，7）；
②如图2，过点B作BC⊥BA，使BC=BA，

∴∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠AOB=∠BDC，∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ABO=∠BCD，
在△ABO和△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDC}\\{∠ABO=∠BCD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCD，
∴CD=BO=6，BD=AO=8，
则OD=BO+BD=14，
∴点C（6，14）；
③如图3，过点A作AC⊥AB，使AC=AB，

∴∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∴∠AOB=∠CDA=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ABO和△CAD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CDA}\\{∠BAO=∠ACD}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=BO=6，CD=OA=8，
则OD=OA+AD=14，
∴点C的坐标为（14，8），
综上，点C的坐标为（7，7），（14，8），（6，14），
故答案为：（7，7），（14，8），（6，14）．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键，并注意分类思想的运用．