Question

17．已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．
（1）求证：AC²=AD•AB；
（2）若$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DF}{CG}$，求证：CG²=DF•BG．

Answer 1

分析 （1）证明△ACD∽△ABC，得出对应边成比例AC：AB=AD：AC，即可得出结论；
（2）由相似三角形的性质得出∠ADF=∠ACG，由已知证出△ADF∽△ACG，得出∠DAF=∠CAF，AG是∠BAC的平分线，由角平分线得出$\frac{AC}{AB}=\frac{CG}{BG}$，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：AB=AD：AC，
∴AC²=AD•AB；
（2）证明：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ADF=∠ACG，
∵$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DF}{CG}$，
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF=∠CAF，
即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{CG}{BG}$，
∴$\frac{DF}{CG}=\frac{CG}{BG}$，
∴CG²=DF•BG．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．