Question

20．如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点在y轴上，斜边BC在x轴上，AB=AC=4$\sqrt{2}$，D为斜边BC的中点，点P由点A出发沿线段AB做匀速运动，P′是点P关于AD的对称点，P′P交y轴于点F，点Q由点D出发沿射线DC方向做匀速运动，且满足四边形QDPP′是平行四边形，设?QDPP′的面积为S，DQ=x．
（1）求S关于x的函数表达式；
（2）当S取最大值时，求过点P、A、P′的二次函数表达式；
（3）在（2）中所求的二次函数图象上是否存在一点E，使△PP′E的面积为5？若存在，请求处E点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由勾股定理求出BC=8，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD=BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=4，再由四边形QDPP′为平行四边形，DQ=x，得到AF=PF=P′F=$\frac{1}{2}$x，那么DF=AD-AF=4-$\frac{1}{2}$x，进而可得S关于x的函数解析式；
（2）由（1）可得，其解析式为二次函数，利用配方法可得当x=4时，S取最大值，此时Q点运动到C点，P点运动到AB的中点，进而可得过点P，A，P′的二次函数解析式；
（3）首先假设存在，并设点E坐标为（x，y），表示出△PP′E的面积，可得x与y的值，判断出存在．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=4$\sqrt{2}$，
∴BC=8，
∵D为斜边BC的中点，
∴AD=BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵四边形QDPP′为平行四边形，DQ=x，
∴PP′=DQ=x，
∴AF=PF=P′F=$\frac{1}{2}$x，
∴DF=AD-AF=4-$\frac{1}{2}$x，
∴S=x（4-$\frac{1}{2}$x）=-$\frac{1}{2}$x²+4x；

（2）∵S=-$\frac{1}{2}$x²+4x=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8，
∴当x=4时，S取最大值，此时Q点运动到C点，P点运动到AB的中点，
则点A、P、P′的坐标分别为（0，4）、（-2，2）、（2，2）．
设过上述三点的二次函数解析式为y=ax²+4，
代入P′点坐标得4a+4=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴当S取最大值时，求过点P、A、P′的二次函数表达式为y=-$\frac{1}{2}$x²+4；

（3）如图，假设在y=-$\frac{1}{2}$x²+4的图象上存在一点E，使S_△PP′E=5，
设E的坐标为（x，y），
则S_△PP′E=$\frac{1}{2}$×PP′×|y-2|=5，即$\frac{1}{2}$×4×|y-2|=5，
解得y=$\frac{9}{2}$或y=-$\frac{1}{2}$．
当y=$\frac{9}{2}$时，-$\frac{1}{2}$x²+4=$\frac{9}{2}$，此方程无解；
当y=-$\frac{1}{2}$时，-$\frac{1}{2}$x²+4=-$\frac{1}{2}$，解得x=±3．
故在y=-$\frac{1}{2}$x²+4的图象上存在点E，使S_△PP′E=5，此时E点坐标是（-3，-$\frac{1}{2}$），（3，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题既是二次函数综合题，又是动点运动问题．考查了勾股定理，直角三角形、平行四边形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，难度较大．解答第（1）问时，要“以静制动”，即图形运动到某一位置时，观察?QDPP′的底和高与自变量x的关系，得出PP′=DQ=x和DF=4-$\frac{1}{2}$x是解答此问的关键；第（3）问是“是否存在型”问题，解题策略是“假设存在，推到定论”，即假设存在符合条件的点E，根据题意得出方程，根据方程的解的情况判断点E是否存在，注意分类讨论思想的应用．