Question

19．屈原食品公司接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只5元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小明第x天生产的粽子数量为n只，n与x满足如下关系式：$\left\{\begin{array}{l}n=45x\\ n=30x+90\end{array}\right.$$\begin{array}{l}（0＜x≤5）\\（5＜x≤15）\end{array}$．
（1）小明第几天生产的粽子数量为390只？
（2）设第x天每只粽子的成本是y元，y与x之间的关系的函数图象如图所示．若小明第x天的净利润为w元，试求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的净利润最大？最大值是多少元？（提示：净利润=出厂价-成本）

Answer 1

分析 （1）把n=390代入n=30x+90，解方程即可求得； 
（2）根据图象求得成本y与x之间的关系，然后根据：净利润=（出厂价-成本价）×销售量，结合x的范围整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答．

解答 解：（1）∵45×5=225＜390，
∴30x+90=390，
解得：x=10，
答：小明第10天生产的粽子数量为390只；

（2）由图象可知，当0≤x≤9时，y=3.4；
当9＜x≤15时，设y=kx+b，
将（9，3.4）、（15，4）代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=3.4}\\{15k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=0.1}\\{b=2.5}\end{array}\right.$，
∴y=0.1x+2.5；
①当0≤x≤5时，w=（5-3.4）×45x=72x，
∵w随x的增大而增大，
∴当x=5时，w取得最大值，w_最大=360元；
②当5＜x≤9时，w=（5-3.4）（30x+90）=48x+144，
∵w随x的增大而增大，
∴当x=9时，w取得最大值，w_最大=576元；
③当9＜x≤15时，w=[5-（0.1x+2.5）]（30x+90）
=-3x²+66x-225
=-3（x-11）²+138，
∴当x=11时，w取得最大值，w_最大=138元；
综上，当x=9时，w取得最大值，w_最大=576元，
答：第9天的净利润最大，最大值是576元．

点评 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．