Question

16．如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD=∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M．
（1）求证：BE=DE；
（2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠ADB=∠CBD，由已知条件∠CBD=∠EBD，证出∠ADB=∠EBD，即可得出结论；（2）延长MP交BC于Q，先由角的平分线性质得出PQ=PN，再由AB=MQ，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠CBD=∠EBD，
∴∠ADB=∠EBD，
∴BE=DE；
（2）解：PM+PN=AB；理由如下：
延长MP交BC于Q，如图所示：
∵AD∥BC，PM⊥AD，
∴PQ⊥BC，
∵∠CBD=∠EBD，PN⊥BE，
∴PQ=PN，
∴AB=MQ=PM+PQ=PM+PN．

点评 本题考查了矩形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．