Question

19．如图，直线l与⊙O交于C，D两点，且与半径OA垂直，垂足为H，∠ODC=30°，在OD的延长线上取一点B，使得AD=BD，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π（结果保留π）

Answer 1

分析 求出△OAD是等边三角形，推出∠OAD=∠ODA=60°，求出∠DAB=∠B=30°，求出∠OAB=90°，求出△OAB和扇形OAD的面积，即可求出答案．

解答 解：直线AB与⊙O的位置关系是相切，
理由是：∵AO⊥CD，
∴∠OAD=90°，
∵∠ODC=30°，
∴∠DOA=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAD=∠ODA=60°，
∵AD=BD，
∴∠DAB=∠B，
∵∠ODA=∠B+∠DAB，
∴∠DAB=∠B=30°，
∴∠OAB=30°+60°=90°，
∵∠B=30°，∠OAB=90°，OA=2，
∴OB=2OA=4，由勾股定理得：AB=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积S=S_△OAB-S_扇形OAD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．
故答案为：2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，扇形的面积，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生综合运用机密性推理和计算的能力．