题目内容
如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（0°＜α＜90°）
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）①在图1中，60°＜α＜90°，取BC中点G，连接FG，CF，∠EFD=k∠DCF（k为正整数），试猜想k的值，并证明你的猜想；
②在图2中，0°＜α＜60°，作CE⊥AB交BA的延长线于E，取BC中点G，连接FG，CF，直接写出∠EFD与∠DCF的等量关系．
（3）在图1中，当60°＜α＜90°时，当BE为多少时，CE2-CF2取最大，最大值为多少？
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）①在图1中，60°＜α＜90°，取BC中点G，连接FG，CF，∠EFD=k∠DCF（k为正整数），试猜想k的值，并证明你的猜想；
②在图2中，0°＜α＜60°，作CE⊥AB交BA的延长线于E，取BC中点G，连接FG，CF，直接写出∠EFD与∠DCF的等量关系．
（3）在图1中，当60°＜α＜90°时，当BE为多少时，CE2-CF2取最大，最大值为多少？
考点：四边形综合题
专题：压轴题
分析：（1）求出BE，根据勾股定理求出CE即可；
（2）①根据平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质推出∠DCF=∠DFC=∠CFG=∠EFG，即可得出答案；②根据平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质推出∠DCF=∠DFC=∠CFG=∠EFG，即可得出答案；
（3）求出BN=
BE，根据勾股定理求出FM、AN、求出CM、根据勾股定理求出CE、CF，代入得出二次函数的解析式，求出最值即可．
（2）①根据平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质推出∠DCF=∠DFC=∠CFG=∠EFG，即可得出答案；②根据平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质推出∠DCF=∠DFC=∠CFG=∠EFG，即可得出答案；
（3）求出BN=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠B=60°，BC=10，
∴BE=
BC=5，
由勾股定理得：CE=
=5
；
（2）①k=3，
证明：如图，∵AB=5，BC=10，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，DC=AB=5，AD∥BC，
∵F、G分别为AD、BC的中点，
∴DF=DC=CG=AF=BG=5，DF∥CG，
∴四边形ABGF和四边形CDFG是平行四边形，
∴FG∥AB∥CD，FG=CD=AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∵G为AB中点，
∴EQ=CQ，
∴EF=FC，
∴∠EFQ=∠CFG，
∵DF=DC=5，
∴∠DFC=∠DCF，
∵FG∥CD，
∴∠CFG=∠DCF，
即∠EFD=3∠DCF，
∴k=3；
②
由①知：∠CFG=∠EFG=∠DCF=∠DFC，
∵∠EFD+∠EFG+∠CFG+∠DFC=360°，
∴∠EFD+3∠DCF=360°；
（3）如图3，过A作AN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，
∵AD∥BC，
∴AN=FM，AF=MN=5，
∵AN⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ANB=∠CEB=90°
∵∠B=∠B，
∴△ANB∽△CEB，
∴
=
=
，
∴BN=
BE=
x，
在Rt△ANB中，由勾股定理得：AN2=FM2=52-（
x）2，
CM=BC-AF-BN=10-5-
x=5-
x，
∴CE2-CF2=（102-x2）-[52-（
x）2+（5-
x）2]=-x2+5x+50，
当x=-
=
时，CE2-CF2取最大值，是
．
∴∠CEB=90°，
∵∠B=60°，BC=10，
∴BE=
| 1 |
| 2 |
由勾股定理得：CE=
| 102-52 |
| 3 |
（2）①k=3，
证明：如图，∵AB=5，BC=10，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=10，DC=AB=5，AD∥BC，
∵F、G分别为AD、BC的中点，
∴DF=DC=CG=AF=BG=5，DF∥CG，
∴四边形ABGF和四边形CDFG是平行四边形，
∴FG∥AB∥CD，FG=CD=AB，
∵CE⊥AB，
∴FG⊥CE，
∵G为AB中点，
∴EQ=CQ，
∴EF=FC，
∴∠EFQ=∠CFG，
∵DF=DC=5，
∴∠DFC=∠DCF，
∵FG∥CD，
∴∠CFG=∠DCF，
即∠EFD=3∠DCF，
∴k=3；
②
由①知：∠CFG=∠EFG=∠DCF=∠DFC，
∵∠EFD+∠EFG+∠CFG+∠DFC=360°，
∴∠EFD+3∠DCF=360°；
（3）如图3，过A作AN⊥BC于N，过F作FM⊥BC于M，
∵AD∥BC，
∴AN=FM，AF=MN=5，
∵AN⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ANB=∠CEB=90°
∵∠B=∠B，
∴△ANB∽△CEB，
∴
| AB |
| BC |
| BN |
| BE |
| 5 |
| 10 |
∴BN=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
在Rt△ANB中，由勾股定理得：AN2=FM2=52-（
| 1 |
| 2 |
CM=BC-AF-BN=10-5-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴CE2-CF2=（102-x2）-[52-（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当x=-
| 5 |
| 2×(-1) |
| 5 |
| 2 |
| 225 |
| 4 |
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，线段垂直平分线，相似三角形的性质和判定，二次函数的最值，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，难度偏大．
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