Question

4．半径为r的⊙O内切于△ABC，∠C=60°，AB=$\sqrt{3}$，求r的取值范围．

Answer 1

分析 设AC=x，BC=y，根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC•sinC=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）r得到r=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}xy}{x+y+\sqrt{3}}$①在直角三角形CFO中，根据三角函数和切线长定理得到CF=$\sqrt{3}$r=$\frac{1}{2}$（x+y-$\sqrt{3}$）于是得到x+y=2$\sqrt{3}$r+$\sqrt{3}$，x=2$\sqrt{3}$r+$\sqrt{3}$-y代入①，整理得到关于y的一元二次方程$\sqrt{3}$y²-3（2r+1）y+（4$\sqrt{3}$r²+4$\sqrt{3}$r）=0根据△≥0得到4r²+4r-3≥0即可得到结果．

解答 解：如图，设⊙O与△ABC的边相切于E，Q，F，连接OE，OF，OG，
设AC=x，BC=y，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC•sinC=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）r
代入数据得到r=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}xy}{x+y+\sqrt{3}}$①
又∵在直角三角形CFO中，CF=$\sqrt{3}$r=$\frac{1}{2}$（x+y-$\sqrt{3}$）
∴x+y=2$\sqrt{3}$r+$\sqrt{3}$，∴x=2$\sqrt{3}$r+$\sqrt{3}$-y
代入①，整理得到关于y的一元二次方程$\sqrt{3}$y²-3（2r+1）y+（4$\sqrt{3}$r²+4$\sqrt{3}$r）=0
∵△≥0
得到4r²+4r-3≥0
解得：-$\frac{3}{2}$≤r≤$\frac{1}{2}$
结合题意只能是0＜r≤$\frac{1}{2}$，
故答案为0＜r≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的面积公式，切线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．