题目内容
13．
如图，菱形ABCD的对角线长分别为a、b．它的面积为S，以菱形ABCD各边中点为顶点作四边形A1B1C1D1，它的面积为S1，然后再以四边形A1B1C1D1的中点为顶点作四边形如此下去，得到四边形A2B2C2D2，它的面积为S2，如此下去，得到四边形AnBnCnDn，（1）求S，S1，S2；
（2）四边形A4B4C4D4的面积是多少？
（3）四边形AnBnCnD的面积是多少？（三个问题都用含a，b的代数式表示）
分析 （1）求出菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$ab，求出S△ABD=S△CBD=S△ADC=S△ABC=$\frac{1}{4}$ab，根据相似三角形的性质分别求出S${\;}_{△D{D}_{1}{C}_{1}}$=S${\;}_{A{A}_{1}{D}_{1}}$=S${\;}_{B{B}_{1}{A}_{1}}$=S${\;}_{C{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{16}$ab，菱形的面积减去四个三角形的面积，即可求出答案；
（2）根据（1）中求出的结果得出规律，即可求出答案；
（3）根据（1）中求出的结果得出规律，即可求出答案．
解答 解：（1）∵菱形ABCD的对角线长分别为a、b，
∴菱形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$ab，
∴S△ABD=S△CBD=S△ADC=S△ABC=$\frac{1}{2}$S菱形ABCD=$\frac{1}{4}$ab，
∵D1、C1分别为AD、DC的中点，
∴D1C1=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，D1C1∥AC，
∴△DD1C1∽△DAC，
∴$\frac{{S}_{△DD{{\;}_{1}C}_{1}}}{{S}_{△DAC}}$=（$\frac{{D}_{1}{C}_{1}}{AC}$）2=$\frac{1}{4}$，
∴S${\;}_{△D{D}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{4}$S△DAC=$\frac{1}{16}$ab，
同理S${\;}_{A{A}_{1}{D}_{1}}$=$\frac{1}{16}$ab，S${\;}_{B{B}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{16}$ab，S${\;}_{C{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{16}$ab，
∴S1=$\frac{1}{2}$ab-4×$\frac{1}{16}$ab=$\frac{1}{4}$ab；
同理S2=$\frac{1}{8}$ab；
（2）∵由（1）知：S1=$\frac{1}{4}$ab，S2=$\frac{1}{8}$ab，S3=$\frac{1}{16}$ab，
∴同理四边形A4B4C4D4的面积是$\frac{1}{32}$ab；
（3）∵由（1）知：S1=$\frac{1}{4}$ab，S2=$\frac{1}{8}$ab，S3=$\frac{1}{16}$ab，
∴四边形AnBnCnD的面积是$\frac{1}{{2}^{n+1}}$ab．
点评 本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．
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